Топ-100
Back

ⓘ ক্যাটাগরি তত্ত্ব



ক্যাটাগরি তত্ত্ব
                                     

ⓘ ক্যাটাগরি তত্ত্ব

ক্যাটাগরি তত্ত্ব গণিতের একটি শাখা যেটি সমগ্র গণিতকে সাধারণীকরণ করার একটি প্রচেষ্টা করে। এই তত্ত্ব ক্যাটাগরি নামক একটি ধারণার প্রবর্তন করে - যেখানে একটি ক্যাটাগরি হচ্ছে বিভিন্ন গাণিতিক বস্তুর একটি সংকলন, এবং এই বস্তুগুলোর মধ্যে বিভিন্ন ম্যাপ বা "মরফিজম" থাকতে পারে। একটি ক্যাটাগরি যে কোন ধরনের গাণিতিক বস্তুর সংকলন হতে পারে, যেগুলোকে অবশ্য বেশ কিছু স্বতঃসিদ্ধ মানতে হবে। স্যামুয়েল আইলেনবার্গ ও সন্ডার্স ম্যাক লেন ক্যাটাগরি তত্ত্বের প্রবর্তন করেন।

                                     

1. ক্যাটাগরির সংজ্ঞা

একটি ক্যাটাগরি C নিম্নোক্ত জিনিসগুলো দ্বারা গঠিতঃ

  • একগাদা মরফিজমের একটি ক্লাস, homC. মরফিজমগুলোকে ম্যাপ বা arrow - ও বলা যেতে পারে। প্রতিটি মরফিজম f এর একটি সূচনা অবজেক্ট a ও একটি টার্গেট অবজেক্ট b থাকতে হবে, যেটাকে গাণিতিক চিহ্নে দেখানো হয়ঃ f: a → b চিত্রে অঙ্কনের সময় মরফিজমটিকে দেখানো হয় a থেকে b পর্যন্ত একটি তীরের মত করে। একটি মরফিজমের সূচনা অবজেক্ট ও টার্গেট অবজেক্ট একই হতে পারে । দুটি অবজেক্ট X, Y এর মধ্যকার মরফিজমগুলোর সংকলন সূচিত হয় homX, Y দিয়ে। যদি দুটি অবজেক্টের মধ্যে কোন মরফিজম না থাকে, তবে homX, Y ফাঁকা হবে।)
  • একগাদা গাণিতিক বস্তু বা অবজেক্টের একটি ক্লাস, obC

যদি তিনটি অবজেক্ট a,b,c ও দুটি মরফিজম f: a → b and g: b → c দেয়া থাকে, তবে প্রদত্ত এই f ও g এর জন্য আরেকটি মরফিজম g ∘ f: a → c পাওয়া যাবে। আমরা বলি যে, f ও g - কে কম্পোজ করে আমরা g ∘ f - কে পেয়েছি।

এই ক্যাটাগরিটি দুটি স্বতঃসিদ্ধ মেনে চলেঃ

  • প্রতিটি অবজেক্ট x - এর জন্য একটি বিশেষ মরফিজম 1 x: x → x থাকতে হবে - যেন প্রতিটি মরফিজম f: a → x এর জন্য 1 x ∘ f = f সত্যি হয়, আর প্রতিটি মরফিজম g: x → b এর জন্য g ∘ 1 x = g সত্যি হয়। এটা সহজেই দেখানো যায় যে প্রতিটি অবজেক্ট x - এর জন্য এমন ধরণের মরফিজম একটির বেশি থাকতে পারে না। এরকম মরফিজমকে বলে আইডেনটিটি মরফিজম।
  • যদি f: a → b, g: b → c and h: c → d হয়, তবে h ∘ g ∘ f = h ∘ g ∘ f হতে হবে।
                                     

2. তথ্যসূত্র

  • Awodey, Steve ২০০৬। Category Theory । Oxford Logic Guides। 49 । Oxford University Press। আইএসবিএন 978-0-19-151382-4।
  • Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. ১৯৯০। Abstract and concrete categories । John Wiley & Sons। আইএসবিএন 0-471-60922-6।
                                     

3. আরোও পড়ুন

  • Jean-Pierre Marquis ২০০৮। From a Geometrical Point of View: A Study of the History and Philosophy of Category Theory । Springer Science & Business Media। আইএসবিএন 978-1-4020-9384-5।
                                     

4. বহিঃসংযোগ

  • List of academic conferences on category theory
  • nLab, a wiki project on mathematics, physics and philosophy with emphasis on the n -categorical point of view.
  • André Joyal, CatLab, a wiki project dedicated to the exposition of categorical mathematics.
  • Adamek, J.; Herrlich, H.; Stecker, G.। "Abstract and Concrete Categories-The Joy of Cats" PDF ।
  • Theory and Application of Categories, an electronic journal of category theory, full text, free, since 1995.
  • টেমপ্লেট:Planetmath reference
  • ইউটিউবে The catsters চ্যানেল, a channel about category theory.
  • Hillman, Chris, A Categorical Primer, টেমপ্লেট:Citeseerx উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে link, a formal introduction to category theory.
  • Video archive of recorded talks relevant to categories, logic and the foundations of physics.
  • Interactive Web page which generates examples of categorical constructions in the category of finite sets.
  • Baez, John ১৯৯৬। "The Tale of n -categories"। - An informal introduction to higher order categories.
  • Category Theory স্ট্যানফোর্ড এনসাইক্লোপিডিয়া অফ ফিলোসফি-র ভুক্তি, লিখেছেন Jean-Pierre Marquis with an extensive bibliography.
Free and no ads
no need to download or install

Pino - logical board game which is based on tactics and strategy. In general this is a remix of chess, checkers and corners. The game develops imagination, concentration, teaches how to solve tasks, plan their own actions and of course to think logically. It does not matter how much pieces you have, the main thing is how they are placement!

online intellectual game →